Philosophy Lexicon of Arguments

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Thiel, Christian
 
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Real Numbers Thiel I 238
Def Reelle transzendente Zahlen: solche reelle Zahlen, die nicht Lösungen irgendwelcher algebraischer Gleichungen anxn+....= 0 sind mit ganzzahligen Koeffizienten ai.
Sie könnten nämlich ein einfaches Verfahren angeben, woraus sie wegen der durch Cantor bewiesenen Nichtabzählbarkeit der Gesamtheit der reellen Zahlen folgerten, dass nach Abzug der reellen Zahlen eine nichtleere Gesamtheit übrigbleiben müsse,
I 239
eben die der transzendenten reellen Zahlen. Nun ist man allerdings aufgrund dieses typisch "klassischen" Schusses nicht in der Lage, eine solche Zahl tatsächlich vorzuweisen. Trotzdem hatte schon lange vorher Liouville 1844 reelle transzendente Zahlen konstruiert:
1/10 + 1/ 10 ² faculty + 1/10 3 favculty..
Wollte man logisch beide Fälle (konsruktiv und klassisch) einfach durch "(Ex)Tr(x)" (mit "Tr" für transzendent), so würde man den Unterschied einfach verwischen.
Für die Grundlagen der Mathematik ist es wichtig, gerade effektive Existenzbeweise eigens also solche auszuzeichnen.
In einigen Fällen wird auch die Existenz gar nicht in Frage gestellt, aber eine konkrete Antwort auf eine mathematische Frage gesucht.
I 240
Bsp Größter gemeinsamer Teiler zweier Grundzahlen. Ein "effektives Verfahren" löst das Problem nicht durch Probieren, sondern in endlich vielen Schritten.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995




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Ed. Martin Schulz, access date 2017-03-24