Lexicon of Arguments

Philosophical and Scientific Issues in Dispute
 


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The author or concept searched is found in the following 1 entries.
Disputed term/author/ism Author
Entry
Reference
Real Numbers Dedekind
 
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Thiel I 192
Definition Dedekind's cuts/real numbers/Dedekind: I find now the essence in the continuity in the reversal, namely in the following principle: if all points of the line disintegrate into two classes in such a way that each point of the first class is to the left of every point of the second class, so one and only one point exists, which brings this division of all points into two classes. ConstructivismVsDedekind: since the mathematical means used in this provision are not explicitly mentioned, the requirement of constructivist basic critics remains unfulfilled to regard an abstract entity as "given" when a concrete expression representing it is given, so that abstract objects can ultimately be traced back to corresponding properties of the expressions expressing it.
VsConstructivism: Representatives of the "classical" point of view reject this as "too narrow," because the explicit statement of the means of expression used to define the Dedekind's cuts limits the range of definable real numbers.
"New" real figures can only be introduced by the extension of the means permitted at a certain stage and only to be justified.
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I 192/193
This applies if we abandon the mixing of the arithmetic and the geometrical point of view in the speech of the "number line" (also used in the explanation of the Dedekind method) in favor of a clear separation. To speak of the totality of "all" real numbers and also of the totality of "all" points on a line or straight line.
Infinite/infinity/constructive: an infinite set is present if it can be enumerated by a generation process.
Weaker sense: a set of principles must be known.
Stronger meaning: The totality of the real numbers is not available. It is not a definite set. Classical analysis on real numbers presupposes a stronger view. Already in every statement about "all" real numbers, the totality is interpreted as being actual.


T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995

The author or concept searched is found in the following 3 controversies.
Disputed term/author/ism Author Vs Author
Entry
Reference
Dedekind, R. Wittgenstein Vs Dedekind, R.
 
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II 420
Definition infinite class/Dedekind/Wittgenstein: a class is considered to be infinite when it can be uniquely assigned to a real partial class of it, and as finite if that does not work. Infinite/assignment/nonsense/useless/WittgensteinVsDedekind: but what does it mean to try this assignment? Dedekind has not specified any criteria. It seems nonsense to say an infinite class could be assigned, we have not tried yet. There is no point in trying this.
If one talks about the example assignment of the infinite class of cardinal numbers to the odd numbers, we mean by "assignment" something completely different. And that is something else, as soon as the words "etc" are added. There is an additional law.
Some rules are valid for finite and infinite sets, while some are of course different: 1,2,3 ... = 1,2,3,4 ..
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II 421
We cannot perform, what corresponds to a nonsense. It makes no sense to say that there is no definitive test for "The comet describes a parabola," because people do not live long enough.

W II
L. Wittgenstein
Vorlesungen 1930-35 Frankfurt 1989

W III
L. Wittgenstein
Das Blaue Buch - Eine Philosophische Betrachtung Frankfurt 1984

W IV
L. Wittgenstein
Tractatus Logico Philosophicus Frankfurt/M 1960
Dedekind, R. Constructivism Vs Dedekind, R.
 
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Thiel I 192
Def Dedekindsche Schnitte/reelle Zahlen/Dedekind: ich finde nun das Wesen der Stetigkeit in der Umkehrung, also im folgenden Prinzip: Zerfallen alle Punkte der Geraden in zwei Klassen derart, dass jeder Punkt der ersten Klasse links von jedem Punkt der zweiten Klasse liegt, so existiert ein und nur ein Punkt, der diese Einteilung aller Punkte in zwei Klassen hervorbringt. ConstructivismVsDedekind: da die in dieser Bestimmung verwendeten mathematischen Mittel nicht explizit genannt werden, bleibt die Forderung der konstruktivistischen Grundlagenkritiker unerfüllt,
eine abstrakte Entität erst dann als "gegeben" zu betrachten, wenn ein sie darstellender konkreter Ausdruck angegeben wird, so dass sich alle von dem abstrakten Gegenstand behaupteten Eigenschaften letztlich auf entsprechende Eigenschaften der ihn darstellenden Ausdrücke zurückführen lassen.
VsConstructivism: Vertreter des "klassischen" Standpunkts weisen das als "zu eng" zurück, weil die explizite Angabe der zur Definition der Dedekindschen Schnitte verwendeten Ausdrucksmittel den Bereich der definierbaren reellen Zahlen einschränkt.
"Neue" reelle Zahlen können erst durch Erweiterung der auf einer bestimmten Stufe zugelassenen und erst zu rechtfertigenden Mittel eingeführt werden.
I 192/193
Dies gilt, wenn wir die Vermischung des arithmetischen und des geometrischen Gesichtspunktes in der Rede von der "Zahlengeraden" (auch bei der Erläuterung des Dedekindschen Verfahrens verwendet) zugunsten einer klaren Trennung aufgeben. Um von der Gesamtheit "aller" reellen Zahlen und auch von der Gesamtheit "aller" Punkte auf einer Strecke oder Geraden sprechen.
unendlich/Unendlichkeit/konstruktiv: eine unendliche Gesamtheit liegt vor, wenn sie durch einen Erzeugungsprozess aufzählbar ist. .
Schwächerer Sinn: Reihe von Prinzipien muss bekannt sein.
Stärkerer Sinn: Gesamtheit der reellen Zahlen liegt nicht vor. Sie ist keine definite Menge. Die klassische Analysis über reelle Zahlen setzt die stärkere Auffassung voraus. Schon in jeder Aussage über "alle" reellen Zahlen wird die Gesamtheit als aktual gegeben aufgefasst.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Peano, G. Frege Vs Peano, G.
 
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Stepanians I 23
Original Laws/Axioms/Frege: it is not only possible to prove them, it is necessary, because their truth is not evident.
I 24
FregeVsPeano/FregeVsDedekind: we need to go beyond them and find the axioms of arithmetic.

F I
G. Frege
Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987

F II
G. Frege
Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994

F IV
G. Frege
Logische Untersuchungen Göttingen 1993

Step I
Markus Stepanians
Gottlob Frege zur Einführung Hamburg 2001